高等代数n维向量论文引言
2023-05-07 20:58:14
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问：线性代数和高等数学里的向量部分有区别吗
- 答：高数的向量更注重现实3维空间的向量,就是涉及平面,曲面,空间直线什么的.
线性代数更注重n维空间的向量,是抽象的向量,不能在现实的3维世界里找到原型了.
略有区别,线性代数研究的向量更深更广,是高数中向量的推广和延伸.
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书名：高等代数（下册）
作者：丘维声
豆瓣评分：9.1
出版社：清华大学出版社
出版年份：2010-10
页数：670
内容简介：《高等代数(下册):大学高等代数课程创新教材》作为大学“高等代数”课程的创新教材，是国家级优秀教学团队（北京大学基础数学教学团队）课程建设的组成部分，是国家级教学名师多年来进行高等代数课程建设和教学改革的成果。
本套书以讲述线性空间和多项式环的结构及其态射为主线，遵循高等代数知识的内在规律和学生的认知规律安排内容体系，按照数学思维方式编写，着重培养数学思维能力。上册内容包括：线性方程组，行列式，n维向量空间K，矩阵的运算，欧几里得空间R，矩阵的相抵、相似，以及矩阵的合同与二次型。下册内容包括：多项式环，线性空间，线性映射，具有度量的线性空间（欧几里得空间、酉空间、正交空间和辛空间），环、域和群的概念及重要例子，以及多重线性代数。
书中每节均包括内容精华、典型例题、习题，章末有补充题（除第11章外），还特别设置了“应用小天地”板块。《高等代数(下册):大学高等代数课程创新教材》内容丰富、全面、深刻，阐述清晰、详尽、严谨，可以帮助读者在高等代数理论上和科学思维能力上都达到相当的高度。《高等代数(下册):大学高等代数课程创新教材》适合用作综合大学、高等师范院校和理工科大学的“高等代数”课程的教材，还可作为“高等代数”或“线性代数”课程的教学参考书，也是数学教师和科研工作者高质量的参考书。
问：高等代数理论基础50：线性变换的值域与核
- 答：定义：设 是线性空间V的一个线性变换, 的全体像组成的集合称为 的值域,记作
所有被 变成零向量的向量组成的集合称为 的核,记作
,
注：线性变换的值域与核都是V的子空间
故 对加法与数量乘法封闭,且 非空
故 是V的子空间
由
即 对加法与数量乘法封闭
又 ,故
即 非空
故 是V的子空间
的维数称为 的秩, 的维数称为 的零度
例：在线性空间 中,令 ,则 的值域为 , 的核为
定理：设 是n维线性空间V的线性变换, 是V的一组基,在这组基下 的矩阵是A,则
1. 的值域 V是由基像组生成的子空间,即
2. 的秩=A的秩
证明：
注：定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变
定理：设 是n维线性空间V的线性变换,则 的一组基的原像及 的一组基合起来即 的一组基,故
的秩+ 的零度=n
证明：
推论：有限维线性空间的线性变换是单射的充要条件为它是满射
证明：
注： 与 的维数之和为n,但 不一定是整个空间
例：设 是一个 矩阵, ,证明： 相似于一个对角矩阵
证：
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