一、ALTERNATING DIRECTIONFINITE ELEMENT METHOD FORSOME REACTION DIFFUSION MODELS（论文文献综述）
蹇焕燕[1]（2021）在《几类分数阶微分方程的快速数值算法研究》文中进行了进一步梳理分数阶方程作为整数阶方程的推广,近年来被广泛用于建模各种物理和科学现象。由于分数阶算子的非局部性,分数阶模型能更精确地描述具有遗传和记忆性质的材料和过程。大多数分数阶方程的解析解都不易确定,所以一般研究其数值方法。此外,分数阶算子的离散通常导出稠密矩阵,这也造成了极大计算困难。因此,发展其高性能算法也是十分迫切的。本文工作主要分为以下四个方面:1.针对时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程,提出了一个快速隐式差分格式。首先通过数值积分,将该方程转换为一个多项时空分数阶方程。然后提出一个隐式差分格式来求解这个多项时空分数阶方程,并讨论它的无条件稳定性和收敛性。另外,发展了预处理的Krylov子空间算法来计算导出的Toeplitz-like线性系统。最后数值实验结果支持了理论发现,并验证了算法的有效性。2.针对时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程,建立了一个快速二阶差分格式。利用加权位移Gr¨unwald公式离散时间导数和分数阶中心差分公式离散空间导数,从而导出差分格式。另证明了该格式在时间、空间和分布阶上的稳定收敛性。一维时,提出基于Gohberg-Semencul公式的预处理Krylov子空间算法来计算Toeplitz系统。二维时,构建带截断预处理子的全局预处理共轭梯度法来求解Sylvester系统。数值实验结果验证了提出差分格式和快速算法的有效性。3.针对非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,发展了一个快速隐式积分因子方法。首先利用分数阶中心差分公式空间离散该方程,得到一个非线性常微分方程系统。其次,为获得良好的稳定性和鲁棒性,采用隐式积分因子方法求解该系统。另外,为了降低计算量,考虑到系数矩阵是对称正定Toeplitz的,提出了基于Gohberg-Semencul公式的位移-逆Lanczos方法来计算指数矩阵-向量乘积。最后用数值实验证实了理论结果的正确性,并验证了快速求解算法的有效性。4.针对二维的非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,提出了一个非均匀网格的快速紧隐式积分因子方法。利用加权位移Gr¨unwald-Letnikov方法对该方程空间离散后,得到一个矩阵形式的非线性常微分方程系统。鉴于紧隐式积分因子方法的稳定性,将其与非均匀时间网格和对角化技术结合,构建了一种非均匀时间网格的快速紧隐式积分因子方法。与已有方法相比,该方法避免了直接计算稠密指数矩阵并显着降低了计算成本。数值实验也验证了提出方法的有效性。
赵永良[2]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中认为分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
尹保利[3]（2021）在《CQ/SCQ差分公式构造及其在分数阶微积分方程数值求解中的应用》文中研究指明分数阶导数与传统整数阶导数具有几乎同样古老的历史.分数阶微积分算子因其定义本身具有非局部性以及可能包含奇异卷积核,因而特别适用于描述反常扩散过程,并已成功应用于许多科学领域,如粘弹性力学、量子力学、电磁学、非牛顿流体力学、经济学、生物医学等.鉴于分数阶微积分模型在上述领域中的成功应用,求解该类模型变得尤为重要.但是,精确求解分数阶微积分模型有很大的困难,而且其解析解中一般含有难于计算的特殊函数,如MittagLeffler函数、H-函数等.因此,构建高效的数值方法成为模拟分数阶微积分模型的重要手段.本文主要考虑具有奇异核的微积分算子,并从三个方面展开研究:·在第二章中,我们基于Convolution quadrature（CQ）理论设计并论证了两族含有自由参数?的二阶分数阶逼近公式:BT-?和BN-?.同时,通过分析截断误差系数对参数?的依赖关系以及两族方法A-稳定的相关性质,进一步指出我们的方法相较于传统方法的优势,并通过数值算例进行校验.另外,我们把这两族方法应用于时间分数阶电缆方程,通过研究离散系数的相关性质,证明离散格式的无条件稳定性,进而在解满足一定正则性条件下给出了最优误差估计.·考虑到分布阶模型在模拟极慢扩散问题中的优势,我们在第三章把CQ中离散分数阶微积分的思想应用于分布阶微积分的数值离散过程,得到区别于文献中常使用的离散手段.在解满足一定条件的假设下,我们给出相应的截断误差估计,同时将CQ理论中的修正技术推广应用在分布阶模型的数值求解中.此外,我们还考虑了一类最简单的分布阶微分方程的解的结构,指出其与传统分数阶问题的解的异同.这一结果对于后续分布阶逼近公式的设计和误差分析具有一定的参考意义.·由于CQ理论仅研究在整结点处离散分数阶微积分的差分公式的基本特征,我们在第四章至第六章中通过引入位移参数θ,研究在任意位移点处离散第五章里我们设计并分析了三类二阶含有位移参数的逼近公式,并分别应用于分数阶移动/非移动输运方程、双侧空间分数阶对流扩散方程和多项时间分数阶反应扩散波方程,同时给出数值分析和数值模拟;在第六章中,我们针对一类方法,即位移分数阶梯形公式（SFTR）展开进一步研究,构造了针对（a）高维非线性空间分数阶薛定谔方程的快速保结构有限差分方法,（b）含有非光滑解的亚扩散问题的快速算法,以及分析了（c）时间分数阶麦克斯韦方程离散能量的衰减律.
赵洁[4]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究》文中指出本文的主要工作是研究几类时间分数阶偏微分方程的有限体积元方法,并将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,对两类非线性分数阶偏微分方程提出时间两层网格有限体积元快速算法.针对几类Caputo型与Riemann-Liouville型时间分数阶偏微分方程,分别建立了全离散数值计算格式,给出了全离散格式解的稳定性和收敛性等理论分析结果,并对模型方程进行了数值实验,通过实验数据验证了理论结果.本文主要考虑了分数阶反应扩散方程、非线性分数阶移动/非移动输运方程、非线性分数阶四阶反应扩散方程、非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统.具体的研究内容可以概括为如下三个部分:在第二章中,研究了一类Caputo型时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法.在时间方向上采用经典的L1公式逼近Caputo型时间分数阶导数.在空间离散过程中,针对二维有界凸多边形区域构造原始剖分和对偶剖分,分别选择分片线性多项式函数空间和分片常数函数空间作为试验函数空间和检验函数空间,通过引入插值算子Ih*,构造了全离散有限体积元格式.利用L1公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性、L2范数下的无条件稳定性和H1范数下的条件稳定性,并且得到了最优先验误差估计.最后给出两个不同空间维数的数值算例来验证数值方法的可行性.在第三章和第四章中,研究了非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法和非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法.采用二阶WSGD公式逼近两类方程中的Riemann-Liouville型时间分数阶导数,并且使用一类二阶线性化公式逼近两类模型方程中的非线性项,在处理非线性时间分数阶四阶反应扩散方程时,引入辅助变量将原问题转化为低阶耦合系统.使用插值算子Ih*,对两类方程分别建立了二阶全离散有限体积元格式和混合有限体积元格式.利用WSGD公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性和无条件稳定性结果,并且得到了最优先验误差估计,其中收敛阶和分数阶导数的参数无关.最后对两类模型方程都给出了含不同非线性项的数值算例来验证理论分析结果.在第五章和第六章中,将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,研究了带有Riemann-Liouville型时间分数阶导数的非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元快速算法.时间两层网格有限体积元方法的计算过程分三步:第一步,先在时间粗网格上利用非线性有限体积元格式迭代计算出一组粗糙解;第二步,利用时间粗网格上的粗糙解,使用Lagrange插值公式计算出时间细网格上的一组粗糙解;第三步,利用时间细网格上的粗糙解,使用一个特殊技巧建立线性化的有限体积元格式,并求解出时间细网格上的最终解.这种办法可以大幅度减少计算时间,提高计算效率.文中建立了两类模型方程的时间两层网格有限体积元格式,得到了时间粗网格和细网格下全离散解的无条件稳定性和最优先验误差估计结果.最后对两类模型方程均给出了相应的数值算例,通过对比时间两层网格方法和标准有限体积元方法的数值结果,可以看出时间两层网格有限体积元方法在保证收敛精度的同时,还在很大程度上节省了计算时间.
高兴华[5]（2020）在《几类分布阶偏微分方程的有限元方法研究》文中进行了进一步梳理分布阶偏微分方程可以精确地刻画一些整数阶和分数阶偏微分方程不能描述的物理过程.特别地,时间分布阶偏微分方程在描述具有记忆和遗传特性的反常扩散过程相较于其他数学模型有着明显的优势.本文利用有限元方法求解了几类分布阶偏微分方程.对于文章中的每一个数值格式都给出了相应的稳定性和收敛性分析,并通过一些具有代表性的数值算例验证了理论分析的正确性.本文的主要研究工作可以概括为以下几个部分:（1）在第三章中,为了求解二维非齐次时间分布阶Cable方程,提出了一种具有WSGD算子逼近和复合梯形公式的非结构网格Galerkin有限元方法.通过时间方向上的Crank-Nicolson格式和空间方向上的Galerkin有限元方法构造方程的全离散格式,并讨论了数值算法的稳定性和收敛性,最后给出了凸区域上的一些数值算例来验证理论结果的正确性.（2）在第四章中,考虑了一种快速算法来求解二维非线性时间分布阶空间分数阶扩散方程,称之为时间两层网格（TT-M）有限元方法.在时间方向上,我们将TT-M算法与二阶σ向后差分格式和在时间t1处的Crank-Nicolson格式相结合来计算方程的数值解,从而加快了计算速度.同时,在空间方向上通过有限元方法进行近似.给出了数值算法的稳定性和误差估计的详细证明,可以得到二阶时间收敛精度.最后,通过一些数值算例来说明数值算法的有效性.（3）在第五章中,考虑了分布阶扩散波动方程的有限元解的误差估计,其中时间分数阶导数是在Caputo意义上定义的,其阶次α,β分别属于（0,1）和（1,2）.本章提出了在计算上行之有效的数值方法来模拟时间分布阶扩散波动方程.在时间方向上,通过中点求积公式把分布阶项转化为多项的时间分数阶导数项,并且利用L1和L2公式来近似Caputo分数阶导数;在空间方向上使用Galerkin有限元方法进行离散.给出了基于H1范数的有限元解的稳定性和误差估计的详细证明,最后的数值算例结果说明了理论分析的正确性以及有效性.
侯雅馨[6]（2020）在《时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法研究》文中研究指明时间分布阶微分方程常用于描述一些扩散指数随时间变化的复杂过程,如加速亚扩散过程等,目前已经在诸多领域发挥着重要作用,成为国际学术界的热门研究课题.但是分布阶算子所具有的复杂性和非局部性使得求解分布阶微分方程的精确解困难重重,因此学者们转而求其数值解,并取得了重要进展.在众多算法中,有限元方法以其较强的区域适应性、更灵活的网格剖分、更低的光滑性要求以及较强的通用性等显着优势,备受学者们的青睐.本文研究了时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法,重点讨论了H1-Galerkin混合有限元（GMFE）方法、两层网格有限元方法和交替方向隐式（ADI）有限元方法.具体的研究内容概括为以下几个部分:第一部分,使用基于二阶σ格式的H1-Galerkin混合有限元方法数值求解带有非线性项的时间分布阶反应扩散模型.时间方向上使用二阶σ格式逼近,空间方向上采用混合元算法进行离散,进而形成全离散格式.文中详细给出了格式的稳定性证明,并推导了未知函数p及中间辅助函数u在L2范数下的最优误差估计.最后用数值算例给出格式在时间和空间上的误差和收敛阶,可以看到时间和空间方向均达到最优阶,与理论分析结果一致,验证了理论分析结果的正确性.同时通过数值图像可以看到数值解与精确解的图像吻合,这说明我们给出的H1-GMFE方法对于求解非线性时间分布阶偏微分方程是有效的.第二部分,通过建立基于加权移位Grunwald差分（WSGD）算子的两层网格ADI有限元格式数值求解二维非线性时间分布阶反应扩散方程.使用WSGD算子结合数值求积公式对时间分布阶导数进行逼近,进一步形成非线性时间分布阶反应扩散模型的两层网格ADI有限元全离散格式.文中给出了数值格式的稳定性分析和误差估计的推导过程,得到了空间方向的二阶收敛精度.该方法降低了分布阶微分方程的维度、减少了存储空间并提高了计算效率.根据数值算例可以看出数值格式在空间方向上为二阶收敛,符合理论分析结果.同时,根据数值解与精确解的对比图,可以看到图像是相吻合的,这表明该算法可以有效的数值求解非线性时间分布阶反应扩散方程.第三部分,首次讨论了使用基于移位分数阶梯形公式（SFTR）的ADI有限元方法求解非线性时间分布阶反应扩散耦合系统.我们用SFTR结合数值求积公式逼近时间分布阶导数,进一步形成非线性分布阶反应扩散耦合系统的ADI有限元全离散格式.文中详细证明了格式的稳定性并借助投影算子得到了未知函数u和v的误差估计结果.理论分析和数值计算结果均显示,基于SFTR的ADI有限元算法可以在空间方向上达到最优收敛阶.该方法可以有效地降低对存储量的巨大需求,提高计算效率.
张艳明[7]（2020）在《分数阶扩散方程高阶数值方法研究》文中认为分数阶微分方程被广泛用于描述具有记忆和遗传性质的复杂动力学问题。但由于分数阶微分算子的非局部结构,只有极少数简单的分数阶微分方程能够用解析方法求解。这使得分数阶微分方程的数值求解成为紧迫且重要的研究课题。本文将致力于构造Riesz型空间分数阶及分布阶扩散方程的高阶数值方法,并给出这些方法的稳定性和收敛性的理论分析。本文的主要内容包括以下四个部分:构造了线性Riesz型空间分数阶扩散方程的一类在时间和空间方向同时具有高阶的数值方法,其构造思想是分别用s-级隐式Runge-Kutta方法和谱Galerkin方法离散方程的时间变量和空间变量。对于满足代数稳定性的p（p≥s+1）阶s-级隐式Runge-Kutta方法,证明了该方法是稳定的且在时间方向是s+1阶收敛的。并利用方程解的正则性估计,给出了收敛阶仅依赖于初值和右端函数的最优空间误差估计。另外,结合高精度的Gauss-Legendre求积公式,这类方法还被推广到线性Riesz型空间分布阶扩散方程上,并得到了类似的稳定性和收敛性结果。通过在时间方向引入k-步向后差分公式（BDF）,并在空间方向采用谱Galerkin方法,构造了线性Riesz型空间分数阶扩散方程的一类具有低计算量且在时间和空间方向同时具有高阶的数值方法。该方法避免了隐式Runge-Kutta方法计算量高的问题。利用G-理论和乘子技巧,证明了该方法是稳定的且在时间方向是k（k≤5）阶收敛的,并给出了该方法在空间方向的最优误差估计。另外,还将这类方法推广到二维线性Riesz型空间分数阶扩散方程上,并给出相应的稳定性和收敛性结果。利用涵盖面非常广的一般线性方法,并结合谱Galerkin方法,进一步构造了线性Riesz型空间分数阶扩散方程的一类更广泛的在时间和空间方向同时具有高阶的数值方法。对于一般级阶为p阶且满足代数稳定性和不可约性一般线性方法,证明了该方法是稳定的且在时间方向为p阶收敛的。并且,还给出了该方法在空间方向的最优误差估计。针对更为复杂的二维非线性Riesz型空间分数阶扩散方程,利用s-级隐式Runge-Kutta方法和谱Galerkin方法,构造了一类在时间和空间方向都具有高阶的数值方法。对于满足代数稳定性和强制性的s-级隐式Runge-Kutta方法,当方程的非线性项满足Lipschitz条件时,证明了该方法的稳定性。当s-级隐式Runge-Kutta方法为p（p≥s+1）阶时,还证明了该方法在时间方向为s+1阶收敛的,并给出收敛阶不依赖于方程解的最优空间误差估计。另外,这类方法还被应用于求解二维非线性Riesz型空间分布阶扩散方程,并得到类似的稳定性和收敛性结果,其中分布阶用Gauss-Legendre求积公式离散。
何学飞[8]（2020）在《几类具有振荡解方程的高精度有限差分逼近》文中指出科学工程领域中很多数学模型的解都具有激烈的振荡性。由于这一特性的存在,设计它们的高精度逼近算法常常具有一定的挑战性。太粗的离散网格不能准确刻画问题解的性态,而太细的离散网格又会带来很大的计算量。本文以奇异摄动方程、非线性Helmholtz方程和薛定谔-泊松方程为研究对象,设计了一类能有效处理具有振荡解问题的高精度有限差分方法。使用经典差分方法对微分方程进行求解时,常常需要假设方程的解在网格点的某个邻域内充分光滑并需要在泰勒展开式中略去了一个由方程解的导数值和离散网格尺寸组成的“高阶项”。而对于上述三种具有激烈振荡解的方程,由正则性分析可知,它们的解的光滑性与方程中的某些“关键参数”密切相关。对解的光滑性假设越高,差分格式的截断项对“关键参数”的依赖性就越强,相应范数的值也就越大。如奇异摄动方程中的“关键参数”就是摄动系数,在边界附近,该方程解的导数值与摄动系数的倒数成正比关系。因此,在对它使用差分方法进行逼近时舍去的“高阶项”的值可能比较大,从而导致使用经典差分方法取得的计算效果不佳。其它两个方程也有类似的情况。本文中,我们首先利用方程本身的性质将解的高阶导数项转化为低阶形式;然后将这一结果应用到泰勒展开式中,并根据关键参数与离散网格的关系对泰勒展开式进行重排,必要时运用初等函数对某些和式进行简化,从而得到新的泰勒展开式;最后从这个新的泰勒展开式出发构建原方程中函数导数项的差商近似,进而得到新的差分格式。因为经过这种处理后略掉的“高阶项”与方程“关键参数”不相关,所以运用相应的差分格式对方程进行逼近能取得很好的计算精度。基于上述思想,本文的二、三和四章分别对奇异摄动方程、非线性Helmholtz方程和薛定谔-泊松方程进行了研究。首先,在构造了一维奇异摄动方程的新型差分格式后,借用隐式方向交替法（ADI）,我们将格式推广到了二维情形下,并分别通过误差分析表明该高精度有限差分格式能够获得不受摄动系数影响的收敛阶。然后,对于非线性Helmholtz方程,在采用误差校正迭代方法对其进行线性化后,我们推导了一维和二维空间中该方程的高精度差分格式。因为该问题的解属于复数域,所以实际需要求解的是由方程实部和虚部两个子问题组成的方程组,而且多种介质的存在还使得该问题具有间断系数。通过对其求解,我们成功重复了光学双稳态以及孤立波的传播、碰撞实验。最后,针对薛定谔-泊松方程,在运用Gummel迭代法对该耦合的非线性问题进行解耦后,我们设计了对含有间断系数和间断右端项的问题同样具高精度逼近效果的差分格式,并对RTD中的电子隧穿进行了精确模拟。
乔远阳[9]（2020）在《曲面分数阶对流扩散方程的若干数值方法研究》文中认为分数阶偏微分方程是指未知变量中含有分数幂的方程,它比传统的整数阶方程更适合于描述具有各种材料的记忆性和遗传性的现实问题,例如,电解化学、凝聚态物理、半导体物理、湍流和粘弹性系统、生物数学和统计力学、光学和热系统、材料和信号处理等领域.分数阶对流扩散问题作为在科学和工程计算模拟中应用最广泛的问题,许多实际的流体流动过程,如传热、流体力学、地下水污染输运扩散过程和油藏、质量和能量传输以及全球天气模拟等问题,都可以用分数阶对流扩散的模型来描述.但是对于这类问题,大部分情形目前都没有精确解,需要精确可靠的离散格式进行数值求解.曲面分数阶对流扩散方程的数值解可直接用来模拟曲面上的流体运动.基于其在流体力学、物理学、材料学以及生物学等的应用背景,曲面分数阶对流扩散问题的数值方法研究对理论和实际都具有非常重要的意义,目前使用较多的数值求解方法是有限差分法和有限元法.但是由于分数阶的非局部性带来的计算困难,大多问题都停留在低维和简单区域的研究,对高维和复杂区域问题的研究并无太多工作.本文主要针对曲面分数阶对流扩散模型,构造了几种稳定高效的数值方法,并对相应的数值格式进行了理论分析,具体内容如下:一是对时间分数阶对流扩散方程的数值算法和应用进行了讨论,在空间上我们通过应用径向基函数差分方法,且采用紧支型Wendland径向基函数加多项式项的形式,来确定径向基函数空间导数中心点周围相邻点处的权重.时间离散我们采用变换的Gr（?）nwald公式,该格式可以得到空间和时间二阶精度的结果.同时,我们提供一种自适应策略来选择支撑域,进而得到一个较精确的形状参数,主要想法是中心点在支撑域中的分布方式使得在中心点周围的相邻点数约为某个常数,这样得到具有较好对称性和稀疏性的系数矩阵.此外,证明了该方法的稳定性和收敛性.最后,数值实验对该方法进行了检测,并得到了精确的结果.该方法很好的解决全局径向基函数方法所产生的病态问题,同时改善径向基函数差分法阶数较低的问题.二是对时间分数阶对流扩散反应方程采用局部紧致积分径向基函数（CIRBF）方法进行了研究.该格式结合积分型径向基函数逼近和紧致近似方法,利用节点函数值和节点二阶导数值信息建立物理空间与径向基函数（RBF）权值空间的关系,根据模板中相邻点的信息对空间导数进行离散.此外,讨论了该方法的稳定性.最后,对二维和三维区域进行了数值算例验证,得到了较高的精度和快速的收敛速度.该方法优化了局部径向基函数法,使其保持系数矩阵条件数较小的优势,同时提升了局部径向基函数法的精度.三是在R3封闭曲面上对时间分数阶对流扩散方程无网格局部径向核函数方法进行数值求解的研究.分数阶的非局部性使其对该模型计算的求解增加了难度,因为它不仅依赖于现在的状态,而且在很大程度上对所有过去的状态都依赖.加上又是曲面问题计算量较大,这在储存和计算效率上都是挑战.解决该问题,我们空间离散采用径向核函数逼近法,时间离散采用二阶变换的Gr（?）nwald格式.利用能量稳定分析法证明了该方法的稳定性和收敛性.最后对曲面上时间分数阶对流扩散方程进行了数值实验和应用.该方法使曲面分数阶对流扩散方程在数值计算上取得进展性工作.四是讨论了空间分数阶反应扩散方程在封闭曲面上的问题.首先给出了曲面上Laplace-Beltrami ∈（1,2]）算子的一些定义,并简单介绍曲面有限元方法用于空间离散的过程.对于空间分数阶的处理,我们利用矩阵变换技术,使得分数阶Laplace-Beltrami算子可近似为Aβ/2u,且A是-△Γ近似的稀疏矩阵,其可以通过特征值分解对角化,这样巧妙地化解了空间分数阶非局部性带来的求解困难.此外,通过大量的数值实验在不同曲面上的应用和分析,表明该方法具有可实行性.该方法首次提出曲面上分数阶Laplace-Beltrami算子,并结合已有的方法,使得曲面空间分数阶反应扩散方程得到很好的应用.
张亚平[10]（2020）在《几类分数阶扩散方程的数值方法》文中认为分数阶偏微分方程（FPDEs）在电磁理论、经济、金融、控制理论、环境科学和高分子材料等诸多科学领域的研究中起着重要作用。此类方程能够为带记忆功能、自相似性质和遗传特征的复杂动力学行为提供更为深刻和准确的物理阐述,故具备传统偏微分方程不可比拟的优越性,但是求解分数阶偏微分方程的解析解极为困难,所以开展分数阶偏微分方程数值方法的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。本文主要研究几类分数阶扩散方程的差分方法。首先,分别讨论了一维和二维非线性时空分布阶扩散方程,其中非线性项满足局部Lipschitz条件。对于一维方程,在时间方向上采用L1格式离散,在空间方向上采用分数阶中心差分格式离散,构造了相应差分格式,并在一维问题的基础上得到了二维问题的交替方向隐式（ADI）差分格式。分析了两种差分格式的适定性和误差估计。通过数值试验验证了理论分析的正确性。其次,考察了一维和二维非线性时空分布阶扩散波方程,其中非线性项满足局部Lipschitz条件。在时间方向上采用L2格式离散,在空间方向上采用分数阶中心差分格式离散,构造了一维问题的差分格式和二维问题的ADI差分格式。分析了所得差分格式的适定性。最后通过数值试验说明格式的有效性。再次,构造了求解带有初始奇异性的二维时空分布阶反应扩散方程的有限差分/有限元方法。用若干指数函数的和逼近弱奇异核,得到分级网格上的时间分数阶导数的快速估计。讨论了半离散变分形式的稳定性和收敛性,以及全离散格式的收敛性。最后给出数值试验验证方法的有效性。最后,研究了带分数阶拉普拉斯算子的一维分数阶扩散方程的数值方法。在零边界条件下,分数阶拉普拉斯算子表示为弱奇异积分,此类分数阶扩散方程表示为对流方程和奇异积分方程,通过线性插值函数给出该方程的有限差分格式;我们还给出了求非光滑解的改进方法。数值试验表明该数值格式的收敛精度为O（h2）,验证了算法的有效性。
二、ALTERNATING DIRECTIONFINITE ELEMENT METHOD FORSOME REACTION DIFFUSION MODELS（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、ALTERNATING DIRECTIONFINITE ELEMENT METHOD FORSOME REACTION DIFFUSION MODELS（论文提纲范文）
（1）几类分数阶微分方程的快速数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义与性质 |
| 1.3 分数阶方程的常见数值算法 |
| 1.4 研究内容及创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程的快速隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数值格式 |
| 2.2.1 数值格式的推导 |
| 2.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 2.3 快速算法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程的快速二阶隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值格式 |
| 3.2.1 数值格式的推导 |
| 3.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 3.3 快速算法 |
| 3.3.1 一维情况 |
| 3.3.2 二维情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速隐式积分因子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值格式 |
| 4.2.1 空间半离散 |
| 4.2.2 隐式积分因子法 |
| 4.3 快速算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 二维非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速紧隐式积分因子法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值格式 |
| 5.2.1 空间半离散 |
| 5.2.2 快速紧隐式积分因子法 |
| 5.3 线性稳定性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（2）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（3）CQ/SCQ差分公式构造及其在分数阶微积分方程数值求解中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 分数阶模型数值方法简介 |
| 1.3 本文工作概要 |
| 第二章 两族CQ差分公式的设计与应用 |
| 2.1 本章引言 |
| 2.2 分数阶BT-?和BN-?逼近公式的提出与分析 |
| 2.2.1 预备知识 |
| 2.2.2 公式设计与收敛性分析 |
| 2.2.3 稳定区域 |
| 2.2.4 数值算例 |
| 2.2.5 本节附录 |
| 2.3 两族逼近公式在时间分数阶电缆方程中的应用 |
| 2.3.1 全离散格式 |
| 2.3.2 稳定性分析 |
| 2.3.3 误差估计 |
| 2.3.4 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 CQ方法在分布阶微积分方程中的应用 |
| 3.1 本章引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章附录 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 含有位移参数的CQ方法 |
| 4.1 本章引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 SCQ相关结论 |
| 4.4 稳定区域 |
| 4.5 SCQ公式的应用 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 三类二阶SCQ差分公式的设计与应用 |
| 5.1 本章引言 |
| 5.2 广义BDF2-θ在分数阶移动/非移动输运方程中的应用 |
| 5.2.1 全离散格式 |
| 5.2.2 稳定性分析 |
| 5.2.3 误差估计 |
| 5.2.4 实现过程 |
| 5.2.5 数值算例 |
| 5.3 位移分数阶梯形公式设计及其在双侧空间分数阶对流扩散方程中的应用 |
| 5.3.1 公式设计 |
| 5.3.2 全离散格式 |
| 5.3.3 稳定性分析 |
| 5.3.4 数值算例 |
| 5.4 一类新的二阶SCQ差分公式的设计及其在多项时间分数阶反应扩散波方程中的应用 |
| 5.4.1 预备知识 |
| 5.4.2 公式设计 |
| 5.4.3 全离散格式 |
| 5.4.4 稳定性分析 |
| 5.4.5 误差估计 |
| 5.4.6 快速算法 |
| 5.4.7 数值算例 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 位移分数阶梯形公式的更多应用 |
| 6.1 本章引言 |
| 6.2 高维非线性空间分数阶薛定谔方程的快速保结构有限差分法 |
| 6.2.1 预备知识 |
| 6.2.2 全离散格式 |
| 6.2.3 守恒律 |
| 6.2.4 误差估计 |
| 6.2.5 快速算法 |
| 6.2.6 数值算例 |
| 6.3 SFTR在含非光滑解亚扩散问题中的应用及快速算法 |
| 6.3.1 全离散格式 |
| 6.3.2 稳定性分析 |
| 6.3.3 误差估计 |
| 6.3.4 快速算法 |
| 6.3.5 数值算例 |
| 6.4 关于时间分数阶麦克斯韦方程离散能量的衰减性分析 |
| 6.4.1 离散能量衰减律 |
| 6.4.2 全离散格式 |
| 6.4.3 理论分析 |
| 6.4.4 实现过程 |
| 6.4.5 数值算例 |
| 6.5 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间科研情况简介 |
（4）几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分数阶偏微分方程有限体积元方法的研究现状 |
| 1.2 本文的主要研究工作和文章结构 |
| 第二章 时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 全离散有限体积元格式 |
| 2.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 2.3.1 一些引理 |
| 2.3.2 存在唯一性 |
| 2.3.3 稳定性 |
| 2.4 先验误差估计 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 结论 |
| 第三章 非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 全离散有限体积元格式 |
| 3.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 3.3.1 一些引理 |
| 3.3.2 存在唯一性 |
| 3.3.3 稳定性分析 |
| 3.4 先验误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 结论 |
| 第四章 非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 全离散混合有限体积元格式 |
| 4.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 4.4 先验误差估计 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 结论 |
| 第五章 非线性时间分数阶Cable方程的时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 先验误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 结论 |
| 第六章 非线性时间分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.3 稳定性分析 |
| 6.4 先验误差估计 |
| 6.5 数值算例 |
| 6.6 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（5）几类分布阶偏微分方程的有限元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分布阶偏微分方程数值解法的研究背景及发展现状 |
| 1.2 研究内容、方法及结构安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Sobolev空间及不等式 |
| 2.2 分数阶导数及其关系 |
| 第三章 二维时间分布阶Cable方程的有限元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 离散公式 |
| 3.3 齐次边界变换 |
| 3.4 Galerkin有限元格式 |
| 3.5 算法实现 |
| 3.6 稳定性和收敛性 |
| 3.7 数值算例 |
| 3.8 本章小结 |
| 第四章 二维非线性时间分布阶空间分数阶扩散方程的TT-MFE方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 全离散格式 |
| 4.3 稳定性分析 |
| 4.4 误差估计 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 分布阶扩散波动方程的有限元解的误差估计 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 全离散格式 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间科研情况简介 |
（6）时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分布阶微分方程数值解法的研究背景与研究现状 |
| 1.1.1 分数阶与分布阶微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 有限元方法在分数阶和分布阶模型求解中的研究进展 |
| 1.2 研究内容与文章结构 |
| 第二章 基础知识 |
| 2.1 Sobolev空间的定义及相应的范数 |
| 2.2 常用引理 |
| 2.3 分数阶导数及其关系 |
| 2.4 分布阶导数的定义 |
| 第三章 非线性时间分布阶反应扩散方程的二阶σ格式的混合元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 本章所用引理及记号 |
| 3.3 混合有限元格式 |
| 3.4 稳定性分析与误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 结论 |
| 第四章 非线性时间分布阶反应扩散方程的两层网格ADI有限元算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 本章所用引理及记号 |
| 4.3 两层网格ADI有限元格式 |
| 4.4 稳定性分析与误差估计 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 结论 |
| 第五章 非线性时间分布阶反应扩散耦合系统的基于SFTR的ADI有限元算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 本章所用引理及记号 |
| 5.3 ADI有限元格式 |
| 5.4 稳定性分析与误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间科研情况简介 |
（7）分数阶扩散方程高阶数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义及性质 |
| 1.3 分数阶与分布阶扩散方程数值方法的研究现状 |
| 1.3.1 分数阶扩散方程数值方法的研究现状 |
| 1.3.2 分布阶扩散方程数值方法的研究现状 |
| 1.4 高阶方法和谱Galerkin方法简介 |
| 1.4.1 高阶方法 |
| 1.4.2 谱Galerkin方法 |
| 1.5 本文的主要研究内容 |
| 第2章 Riesz型空间分数阶及分布阶扩散方程的Runge-Kutta方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 分数阶导数空间和加权空间 |
| 2.3 解的存在唯一性和正则性 |
| 2.4 RSFDE的空间半离散 |
| 2.4.1 谱Galerkin方法 |
| 2.4.2 空间半离散的误差估计 |
| 2.5 RSFDE的全离散 |
| 2.5.1 隐式Runge-Kutta方法 |
| 2.5.2 全离散格式的稳定性及收敛性分析 |
| 2.6 RSDODE的数值逼近 |
| 2.6.1 分布阶的离散 |
| 2.6.2 RSDODE的空间离散 |
| 2.6.3 RSDODE的全离散格式 |
| 2.7 数值实验 |
| 2.7.1 RSFDE的数值结果 |
| 2.7.2 RSDODE的数值结果 |
| 2.8 本章小结 |
| 第3章 Riesz型空间分数阶扩散方程的k-步BDF方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 RSFDE的数值格式 |
| 3.3 稳定性与收敛性分析 |
| 3.3.1 稳定性 |
| 3.3.2 收敛性 |
| 3.4 二维RSFDE的数值逼近 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.5.1 一维算例 |
| 3.5.2 二维算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 Riesz型空间分数阶扩散方程的一般线性方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 RSFDE的数值格式 |
| 4.3 稳定性与收敛性分析 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 多步Runge-Kutta方法和混合方法 |
| 4.4.2 数值结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 非线性Riesz型空间分数阶及分布阶扩散方程的Runge-Kutta方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 解的存在唯一性与正则性 |
| 5.3 2d-NRSFDE的数值格式 |
| 5.4 稳定性与收敛性分析 |
| 5.5 2d-NRSDODE的数值逼近 |
| 5.5.1 分布阶的离散 |
| 5.5.2 2d-NRSDODE的空间离散 |
| 5.5.3 2d-NRSDODE的全离散格式 |
| 5.6 数值实验 |
| 5.6.1 2d-NRSFDE的数值结果 |
| 5.6.2 2d-NRSDODE的数值结果 |
| 5.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（8）几类具有振荡解方程的高精度有限差分逼近（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 有限差分方法 |
| 1.3 几类具有奇异振荡解方程的研究现状 |
| 1.3.1 奇异摄动问题研究简介 |
| 1.3.2 非线性Helmholtz方程研究简介 |
| 1.3.3 薛定谔-泊松方程研究简介 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 2 奇异摄动方程的高精度有限差分方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 问题陈述 |
| 2.3 高精度有限差分方法 |
| 2.3.1 一维问题 |
| 2.3.2 二维问题 |
| 2.4 误差分析 |
| 2.4.1 预备知识 |
| 2.4.2 一维问题的误差分析 |
| 2.4.3 二维问题的误差分析 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 非线性Helmholtz方程的高精度有限差分方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 非线性Helmholtz方程 |
| 3.3 迭代方法 |
| 3.3.1 经典迭代方法 |
| 3.3.2 误差校正方法 |
| 3.4 高精度有限差分格式 |
| 3.4.1 一维问题 |
| 3.4.2 二维问题 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 薛定谔-泊松方程的高精度有限差分方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 薛定谔-泊松方程及其Gummel迭代 |
| 4.2.1 薛定谔-泊松方程系统 |
| 4.2.2 Gummel迭代 |
| 4.3 高精度差分格式 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A (?)的表达式 |
| B (?)的表达式 |
| C 龙格-库塔方法求解薛定谔方程和泊松方程 |
| D 作者在攻读学位期间发表的论文目录 |
| E 作者在攻读学位期间尚未发表的论文目录 |
| F 作者在攻读学位期间参加的部分学术交流 |
| G 学位论文数据集 |
| 致谢 |
（9）曲面分数阶对流扩散方程的若干数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主主要符号表 |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景及应用 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 研究内容及思路 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 分数阶偏微分方程推导 |
| 2.2 分数阶微积分定义 |
| 2.3 径向基函数方法 |
| 3 时间分数阶对流扩散方程的径向基函数差分法 |
| 3.1 时间分数阶对流扩散方程 |
| 3.2 径向基函数有限差分格式 |
| 3.3 稳定性分析 |
| 3.4 数值实验 |
| 本章小结 |
| 4 时间分数阶对流扩散反应方程的局部紧致积分径向基函数法 |
| 4.1 局部紧致积分径向基函数法 |
| 4.2 分数阶离散格式 |
| 4.3 稳定性分析 |
| 4.4 数值实验 |
| 本章小结 |
| 5 曲面分数阶对流扩散方程的局部径向核函数方法 |
| 5.1 曲面径向核函数逼近格式 |
| 5.2 稳定性分析 |
| 5.3 数值实验 |
| 本章小结 |
| 6 曲面空间分数阶扩散反应方程的数值逼近方法 |
| 6.1 空间分数阶Laplace-Beltrami算子定义 |
| 6.2 矩阵变换技术 |
| 6.3 曲面有限元法 |
| 6.4 稳定性分析与误差估计 |
| 6.5 数值实验 |
| 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 研究结论 |
| 7.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人介绍 |
| 教育背景 |
| 攻读博士学位期间所做的工作 |
（10）几类分数阶扩散方程的数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文主要研究内容及框架 |
| 1.4 符号约定 |
| 第二章 分数阶导数和分数阶导数空间 |
| 2.1 分数阶导数的定义 |
| 2.2 分数阶导数的性质 |
| 2.3 分数阶导数空间的定义及其性质 |
| 第三章 非线性时空分布阶扩散方程的有限差分方法 |
| 3.1 一维非线性时空分布阶扩散方程 |
| 3.1.1 数值格式 |
| 3.1.2 唯一可解性 |
| 3.1.3 稳定性分析 |
| 3.1.4 收敛性分析 |
| 3.2 二维非线性时空分布阶扩散方程 |
| 3.2.1 交替方向隐式差分格式 |
| 3.2.2 稳定性分析 |
| 3.2.3 收敛性分析 |
| 3.3 数值例子 |
| 第四章 非线性时空分布阶扩散波方程的有限差分方法 |
| 4.1 一维非线性时空分布阶扩散波方程 |
| 4.1.1 数值格式 |
| 4.1.2 稳定性分析 |
| 4.2 二维非线性时空分布阶扩散波方程 |
| 4.2.1 交替方向隐式差分格式 |
| 4.2.2 稳定性分析 |
| 4.3 数值例子 |
| 第五章 时空分布阶反应扩散方程的快速有限差分/有限元方法 |
| 5.1 时间分布阶导数的快速估计 |
| 5.2 半离散变分形式及其稳定性和收敛性分析 |
| 5.3 全离散格式及其收敛性分析 |
| 5.4 数值例子 |
| 第六章 带分数阶拉普拉斯算子的扩散方程的有限差分方法 |
| 6.1 有限差分方法 |
| 6.2 改进的有限差分方法 |
| 6.3 数值例子 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 发表或完成的论文 |
四、ALTERNATING DIRECTIONFINITE ELEMENT METHOD FORSOME REACTION DIFFUSION MODELS（论文参考文献）
- [1]几类分数阶微分方程的快速数值算法研究[D]. 蹇焕燕. 电子科技大学, 2021(01)
- [2]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [3]CQ/SCQ差分公式构造及其在分数阶微积分方程数值求解中的应用[D]. 尹保利. 内蒙古大学, 2021
- [4]几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究[D]. 赵洁. 内蒙古大学, 2020
- [5]几类分布阶偏微分方程的有限元方法研究[D]. 高兴华. 内蒙古大学, 2020
- [6]时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法研究[D]. 侯雅馨. 内蒙古大学, 2020
- [7]分数阶扩散方程高阶数值方法研究[D]. 张艳明. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [8]几类具有振荡解方程的高精度有限差分逼近[D]. 何学飞. 重庆大学, 2020(02)
- [9]曲面分数阶对流扩散方程的若干数值方法研究[D]. 乔远阳. 新疆大学, 2020(06)
- [10]几类分数阶扩散方程的数值方法[D]. 张亚平. 湘潭大学, 2020(12)